<b>Análise Complexa e Geometria Diferencial de certas Superfícies do Espaço hiperbólico</b> - doi: 10.5269/bspm.v21i1-2.7507

Abstract

Desde os tempos de Gauss, Riemann e de outros que a Geometria Diferencial entrelaça-se com a Análise Complexa. Um dos mais belos efeitos disto é a bem conhecida representação de Weierstrass para superfícies mínimas de R^3, consistindo de dados meromorfos (f, g) que descrevem inteiramente uma tal superfície. O estudo da análise complexa aplicado neste contexto, ao longo das últimas décadas, tem produzido vertiginosos resultados e tem desenvolvido esta teoria para além das expectativas. Já é bem conhecido que `as superfícies mínimas simplesmente conexas de R^3 pode-se associar suas primas no espaço hiperbólico tridimensional H^3 que possuem curvatura média igual a 1. Tal relação segue do teorema fundamental da Geometria, calcado nas equações de Gauss e de Codazzi-Mainardi. O fato é que também existem dados meromorfos sobre as superfícies de curvatura média 1 em H^3, o que sob um ponto de vista filosófico é de se esperar. Este é o escopo destas notas: Explicar um pouco as origens desta teoria e suas ligações com a teoria clássica das superfícies mínimas de R^3 e apresentar os dados meromorfos e exemplos, segundo um trabalho recente do autor com Toubiana. Como o espaço hiperbólico possui vários modelos naturais, diferentemente do espa¸co Euclideano, existem vários pontos de vistas alternativos nesta teoria- revelando a riqueza inigualável da Geometria Hiperbólica. Isto tem sido estabelecido por R. Bryant, Umehara,Yamada que são os pioneiros na moderna abordagem deste assunto. Notáveis trabalhos nesta área tamb´em têm sido compilados por Rossman, Small, Rosenberg, Collin, Hausswirth e Toubiana. De modo que fervilham resultados que exibem a pujança do link Anáse Complexa, Geometria Hiperbólica & Geometria Diferencial.