Base probabilística para geração de pontos aleatórios e o modelo cosseno

Resumo

Este artigo aborda diferentes técnicas para geração de pontos aleatórios sobre o globo. A longitude (X) e a latitude (Y) são entendidas como variáveis aleatórias contínuas, contidas nos intervalos entre -180° e 180° e entre -90° e 90°. Duas possibilidades são levadas em conta, ambas considerando essas duas variáveis como independentes. A primeira utiliza distribuições uniformes para as duas variáveis (modelo uniforme) e a segunda utiliza uma distribuição uniforme para a longitude e uma distribuição cosseno para a latitude (modelo cosseno). São apresentadas as funções de distribuição de probabilidade para as distribuições marginais de X e Y, e conjuntas - vetor aleatório (X, Y). Também são apresentadas as propriedades de esperança e variância para as distribuições marginais, bem como demonstra-se a independência das distribuições conjuntas. Considerando todo o globo, observou-se que o modelo uniforme tende a gerar uma densidade de pontos por área menor na região equatorial e maior nos polos, enquanto o modelo cosseno tende a gerar uma densidade variável ao redor de uma média constante. Assim, o modelo cosseno corrige um enviesamento causado pela geometria não-euclidiana inerente ao formato terrestre. Uma demonstração realizada para duas áreas no território brasileiro mostrou que, utilizando a distribuição cosseno, a porção sul do Rio Grande do Sul teria 14,73% a menos de chance na geração de pontos, em comparação com a região equatorial. Essa diferença ocorre por conta da variação da extensão dos paralelos ao longo das latitudes.